Question

14．如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABD；
（2）若M为AD中点，AB=BD=1，三棱锥A-MBC的体积为$\frac{1}{12}$，求CD．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥CD，CD⊥BD，从而CD⊥面ABD，由此能证明平面ACD⊥平面ABD．
（2）由AB⊥面BCD，得AB⊥BD，由利用V_A-MBC=V_C-ABM，能求出CD的长．

解答 证明：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
又∵CD⊥BD，且AB∩BD=B，AB，BD?面ABD，
∴CD⊥面ABD，
而CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABD．
解：（2）由AB⊥面BCD，得AB⊥BD，
又AB=BD=1，∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}$，
∵M为AD中点，∴${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}{S_{△ABD}}=\frac{1}{4}$，
由（1）知：CD⊥面ABD，
∴三棱锥C-ABM的高h=CD
∵${V_{A-MBC}}={V_{C-ABM}}=\frac{1}{3}{S_{△ABM}}•CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×CD=\frac{1}{12}$，
解得CD=1．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．