Question

11．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交
⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P．
（Ⅰ）求证：$\frac{PM}{PA}$=$\frac{PC}{PN}$；
（Ⅱ）若⊙O的半径为2$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{3}$OM，求MN的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结ON，运用切线的性质和切割线定理，结合等腰三角形的性质，即可得证；
（Ⅱ）延长BO交⊙于点D，连结DN，证得△BOM～△BND，可得对应边成比例，结合勾股定理，计算即可得到所求值．

解答 （Ⅰ）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，
则∠OBN=∠ONB，
∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN，∠PNM=90°-∠ONB，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN．　
由条件，根据切割线定理，有PN²=PA•PC，
所以PM²=PA•PC． 所以$\frac{PM}{PA}$=$\frac{PC}{PN}$；
（Ⅱ）解：OA=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，
∴OM=1，在Rt△BOM中，BM=$\sqrt{O{B}^{2}+O{M}^{2}}$=2．
延长BO交⊙于点D，连结DN，
可得∠BND=∠BOM，∠OBM=∠NBD，
则△BOM～△BND，
于是$\frac{BO}{BN}=\frac{BM}{BD}$，则$\frac{\sqrt{3}}{BN}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$，
∴BN=3，
∴MN=BN-BM=1．

点评 本题考查三角形相似的判定和性质的运用，考查圆的切割线定理和直角三角形的勾股定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．