Question

10．已知函数f（x）=-x²+x+1（-1≤x≤1），回答下列问题：
（1）若-1≤x₁＜x₂≤$\frac{1}{2}$，试比较f（x₁），f（x₂）的大小；
（2）是否存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=-2？

Answer 1

分析 （1）判断函数的单调性，然后通过$-1≤{x_1}＜{x_2}≤\frac{1}{2}$，比较f（x₁），f（x₂）的大小；
（2）根据函数的值域，然后判断不存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=-2．

解答 解：（1）因为函数f（x）=-x²+x+1在$（-∞，\frac{1}{2}]$为增函数
所以当$-1≤{x_1}＜{x_2}≤\frac{1}{2}$时就有f（x₁）＜f（x₂）…6
（2）因为函数f（x）=-x²+x+1在$[-1，\frac{1}{2}]$为增函数，在$[\frac{1}{2}，1]$为减函数
所以函数f（x）在[-1，1]上的最大值为$f（\frac{1}{2}）=\frac{5}{4}$…10
又因为f（-1）=-1＜f（1）=1
所以函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-1）=-1…14
所以函数f（x）在[-1，1]上的值域为[-1，$\frac{5}{4}$]
因为$-2∉[-1，\frac{5}{4}]$
所以不存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=-2成立．…16

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．