Question

13．已知θ∈[0，π），若对任意的x∈[-1，0]．不等式x²cosθ+（x+1）²sinθ+x²+x＞0恒成立，则实数θ的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$）
• B． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）
• C． （$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）
• D． （$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）

Answer 1

分析 可设不等式左边为f（x）并化简，求出f（x）的最小值，令其大于0，得到θ的取值范围即可．

解答 解：设f（x）=x²cosθ+（x+1）²sinθ+x²+x=（1+sinθ+cosθ）x²+（2sinθ+1）x+sinθ，
∵θ∈[0，π），
∴1+cosθ+sinθ≠0，且其对称轴为x=-$\frac{2sinθ+1}{2（1+sinθ+cosθ）}$
∵f（x）在[-1，0]的最小值为f（0）或f（1）或f（-$\frac{2sinθ+1}{2（1+sinθ+cosθ）}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（0）＞0}\\{f（-\frac{2sinθ+1}{2（1+sinθ+cosθ）}）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{cosθ＞0}\\{sinθ＞0}\\{sin2θ＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{0＜θ＜π}\\{\frac{π}{12}＜θ＜\frac{5π}{12}}\end{array}\right.$
∴$\frac{π}{12}$＜θ＜$\frac{5π}{12}$．
故选：A

点评 本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及灵活运用三角函数的能力，以以及运算能力，属于中档题