Question

F₁、F₂分别是双曲线x²－y²＝1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y＝kx＋b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．向量在向量方向的投影是p．

(Ⅰ)根据条件求出b和k满足的关系式；

(Ⅱ)当时，求直线l的方程；

(Ⅲ)当时，求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解(1)双曲线的两个焦点分别是，从而圆O的方程为由于直线y＝kx＋b与圆O相切，所以有

　　即为所求．(3分)

　　(2)设则由并整理得，

　　

　　根据韦达定理，得(5分)

　　从而

　　

　　又由(1)知

　　又由于方向上的投影为p，所以

　　

　　即(8分)

　　

　　所以直线l的方程为(9分)

　　(3)类似于(2)可得

　　即(10分)

　　根据弦长公式，得

　　

　　

　　

　　

　　而2≤m≤4，

　　∴当m＝2时

　　当m＝4时

　　因此△AOB面积的取值范围是(14分)