题目内容
16．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（{2，$\sqrt{2}}$）在椭圆上，且满足$\overrightarrow{A{F_2}}$•$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$=0．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，是否存在圆x2+y2=r2使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出r；若不存在，说明理由．
分析 （1）由题意可知c=2，将A代入椭圆，列方程组，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线l的方程代入椭圆方程，△＞0，根据韦达定理定理求得x1+x2及x1•x2，代入直线l方程求得y1•y2，由OP⊥OQ，根据向量数量积的坐标表示求得x1x2+y1y2=0，求得m的取值范围，l与圆x2+y2=r2相切，代入即可求得r的值．
解答 解：（1）∵$\overrightarrow{A{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0$，
∴AF2⊥F1F2，
∵A在椭圆上，
∴$\frac{c^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，解得${y_0}=\frac{b^2}{a}$．…（1分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{b^2}{a}=\sqrt{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得a2=8，b2=4，．…（3分）
∴椭圆$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（4分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
将l：y=kx+m代入$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，…（5分）
∵△＞0，
∴8k2-m2+4＞0，…（6分）
且${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，…（7分）
∵OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0，即$\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$，
∴${k^2}=\frac{{3{m^2}-8}}{8}$，…（8分）
由$\frac{{3{m^2}-8}}{8}≥0$和8k2-m+4＞0，得${m^2}≥\frac{8}{3}$即可．…（9分）
∵l与圆x2+y2=r2相切，
∴${r^2}=\frac{{|m{|^2}}}{{1+{k^2}}}=\frac{8}{3}$，…（11分）
存在圆${x^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$符合题意．…（12分）
点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标表示，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．
| A． | c-a＜c-b | B． | ac2＞bc2 | C． | $\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$ | D． | $\frac{b}{a}$＜1 |