题目内容

2．一个三角形数表的前5行如图，第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*）．

（1）求a6；
（2）归纳出an+1与an的关系式（不用证明），并求出{an}（n≥2）的通项公式．

分析 （1）a6=5+11=16；
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解．

解答 解：（1）a6=5+11=16．…（2分）
（2）依题意an+1=an+n（n≥2）．…（5分）
∴an+1-an=n（n≥2），…（6分）
当n≥2时，an-an-1=n-1，
…，
a3-a2=2，…（7分）
将上面n-2个等式相加得an-a2=$\frac{（n-2）（n+1）}{2}$…（9分）
因为a2=2…（11分）
所以an=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$（n≥2）．…（12分）

点评 本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题．

练习册系列答案
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12．化简$\frac{sin（2π-θ）cos（π+θ）cos（\frac{π}{2}+θ）cos（\frac{11π}{2}-θ）}{cos（π-θ）sin（3π-θ）sin（-π-θ）sin（\frac{9π}{2}+θ）}$的值是（　　）
A．-tanθB．tanθC．-cosθD．sinθ
13．若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（　　）
A．$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$B．2a＞2bC．|a|＞|b|D．a3＜b3
10．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F∥平面AD1E，则直线A1F与平面BCC1B1所成的角的正切值t构成的集合是（　　）
A．{t|${\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$≤t≤$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}\right.}$}B．{t|{2≤t≤2$\sqrt{3}}$}C．{t|${\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$≤t≤2$\sqrt{3}$}D．{{t|{2≤t≤2$\sqrt{2}}$}
17．若$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$＜0，则下列不等式中不正确的是（　　）
A．a+b＜abB．$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$＞2C．ab＜b2D．a2＜b2
7．观察下列式子：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜1+$\frac{1}{2}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜1+$\frac{2}{3}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜1+$\frac{3}{4}$，…，根据上述规律，第n个不等式应该为1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{{1}^{\;}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1+$\frac{n}{n+1}$．
14．已知命题p：若x＞0，则函数y=x+$\frac{1}{2x}$的最小值为1，命题q：若x＞1，则x2+2x-3＞0，则下列命题是真命题的是（　　）
A．p∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）
11．命题￢p：?x∈R，都有x2-4x+4＞0，命题q：?x∈R，使sinx=$\frac{1}{4}$，则下列命题为假命题的是（　　）
A．（￢p）∨qB．p∧qC．p∨qD．p∧（￢q）
9．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（　　）
A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$

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