Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，且当x∈（-1，0）时，f（x）=-

3x

9x+1

．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（-x）+f（x）=0得函数f（x）是奇函数，根据函数奇偶性的定义和性质即可求，求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）根据函数奇偶性和单调性的性质求出函数f（x）在（-1，1）上的取值范围即可．

解答： 解：（1）因为f（x）是x∈R上的奇函数，所以f（0）=0．
设x∈（0，1）时，-x∈（-1，0），
所以f（-x）=-

3-x

9-x+1

=-

3x

9x+1

=-f（x），所以f（x）=

3x

9x+1

，
所以f（x）=

- 3x 9x+1 ，x∈(-1，0) 0，x=0 3x 9x+1 ，x∈(0，1).

．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

(3x1-3x2)+(3x1+2x2-3x2+2x1)

(9x1+1)(9x2+1)

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

，
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以3x1＜3x2，3x1+x2＞3⁰=1，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）因为f（x）在（0，1）上为减函数，
所以

31

91+1

＜f（x）＜

30

90+1

，即f（x）∈（

3

10

，

1

2

）．
同理，f（x）在（-1，0）上时，f（x）∈（-

1

2

，-

3

10

）．
又f（0）=0，当λ∈（-

1

2

，-

3

10

）∪（

3

10

，

1

2

）或λ=0时，方程f（x）=λ在x∈（-1，1）上有实数解．

点评：本题主要考查指数函数的应用，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．利用定义法是判断函数单调性的基本方法，综合考查函数的性质．