Question

12．已知函数f（x）=-x³-x+sinx，当$θ∈（0，\frac{π}{2}）$时，恒有f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0成立，则实数m的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 确定函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，化抽象不等式为具体不等式，分离参数，利用斜率，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：函数f（x）为奇函数且f′（x）=-3x²-1+cosx≤0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
故f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0⇒2m（1-sinθ）＞-1-sin²θ，
当θ∈（0，$\frac{π}{2}$）时，2m＞$\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$，
$\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$可以视为（sinθ，sin²θ），（1，-1）两点的直线斜率，
而（sinθ，sin²θ）在曲线y=x²，x∈（0，1），可知 $\frac{{sin}^{2}θ+1}{sinθ-1}$＜-1，
故2m≥-1⇒m≥-$\frac{1}{2}$．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的图象及其恒成立问题、数形结合思想的应用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．