Question

如图，某观测站在港口A的南偏西40°方向的C处，测得一船在距观测站31海里的B处，正沿着从港口出发的一条南偏东20°的航线上向港口A开去，当船走了20海里到达D处，此时观测站又测得CD等于21海里，问此时船离港口A处还有多远？

Answer 1

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，进而可求sin∠CDB，由三角形的内角和定理可得sinα，再在△ACD中，由正弦定理求出AD的长；

解答：解：由题∠CAB=60°，设∠ACD=α，∠CDB=β，（1分）
在△CDB中，由余弦定理得cosβ=

202+212-312

2×20×21

=-

1

7

．（4分）
∴sinβ=

4 3

7

，
∴sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°=

5 3

14

（7分）
在△ACD中，
由正弦定理得

21

sin60°

=

AD

sinα

，
∴AD=

21sinα

sin60°

=15，（11分）
即船离港口A处还有15海里．（12分）

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度（角度），然后根据相应的公式来解决问题．