Question

10．祖暅著《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异”，这就是著名的祖暅原理，如图1，现有一个半径为R的实心球，以该球某条直径为中心轴挖去一个半径为r的圆柱形的孔，再将余下部分熔铸成一个新的实心球，则新实心球的半径为$\root{3}{\frac{2{R}^{3}-3{r}^{2}\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{2}}$（如图2，势为h时幂为S=π（R²-r²-h²））

Answer 1

分析 设新实心球的半径为x，可得$\frac{4π}{3}$x³+$π{r}^{2}×2\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{4π}{3}{R}^{3}$．解出即可得出．

解答 解：设新实心球的半径为x，则$\frac{4π}{3}$x³+$π{r}^{2}×2\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{4π}{3}{R}^{3}$．
解得x=$\root{3}{\frac{2{R}^{3}-3{r}^{2}\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{2}}$．
故答案为：$\root{3}{\frac{2{R}^{3}-3{r}^{2}\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{2}}$．
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点评 本题考查了圆柱与球的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．