Question

已知函数．

（1）讨论f(x)在区间（0，1）上的单调性；

（2）当a∈[3，+∞)时，曲线上总存在相异的两点，使得曲线在点P，Q处的切线互相平行，求证：．

 

Answer 1

(1)见解析；

(2)见解析；

【解析】（1）由已知，

由得．

因为，所以，且所以在区间上;在区间上，

故在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：由题意可得，当a∈[3，+∞)时，(，且)即因为，且，所以恒成立．

又，所以．

整理得，a∈[3，+∞)

令，因为a∈[3，+∞)

所以在[3，+∞)上单调递减，即在[3，+∞)上的最大值为，所以．