Question

12．已知实数a＜-1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-2{x}^{3}+3a{x}^{2}+6ax-4{a}^{2}-6a）•{e}^{x}，x≤1}\\{[（6a-1）lnx+x+\frac{a}{x}+15a]•e，x＞1}\end{array}\right.$，若?x₁，x₂∈[a，-a]（x₁≠x₂），[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0，则实数a的最大值为（　　）

• A． -3
• B． -2
• C． -1
• D． 2

Answer 1

分析 分别对两段函数在[a，1]上和[1，-a]上求导，由导函数小于0得a的范围，再由x=1时上段函数的函数值大于等于下段函数的函数值求得a的范围，最后去交集得答案．

解答 解：当a＜-1时，-a＞1，
∵?x₁，x₂∈[a，-a]（x₁≠x₂），[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0，
∴此时函数f（x）在[-a，a]上为减函数，
则区间[a，-a]的左端点小于-1，右端点大于1，
要使f（x）在[a，-a]上为减函数，
即f（x）=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）•e^x  ①在[a，1]上为减函数，
$f（x）=[（6a-1）lnx+x+\frac{a}{x}+15a]•e$  ②在[1，-a]上为减函数，
且（-2+3a+6a-4a²-6a）•e≥（1+a+15a）•e  ③．
解③得：-3$≤a≤-\frac{1}{4}$．
对①求导得：f′（x）=[-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²]•e^x，
要使f′（x）≤0在[a，1]上成立，
则g（x）=-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²≤0在[a，1]上成立，
由g′（x）=-6x²+（6a-12）x+12a=0，得x=a或x=-2．
当a≥-2时，g（x）在[a，1]上为减函数，
由g（a）=-2a³+3a³-6a²+12a²-4a²=a³+2a²≤0，
得a≤-2，
∴a=-2．
当a＜-2时，g（x）在[a，1]上的最大值为g（-2）=16+12a-24-24a-4a²=-4a²-12a-8．
由g（-2）≤0，解得：a≤-2或a≥-1．
∴a＜-2．
对②求导得：${f}^{′}（x）=（\frac{6a-1}{x}+1-\frac{a}{{x}^{2}}）•e$=$\frac{{x}^{2}+（6a-1）x-a}{{x}^{2}}•e$．
要使f′（x）≤0在[1，-a]上成立，
则h（x）=x²+（6a-1）x-a≤0在[1，-a]上成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+6a-1-a≤0}\\{{a}^{2}-6{a}^{2}+a-a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≤0．
综上，存在实数a∈[-3，-2]，使f（x）在[a，-a]上为减函数．
则实数a的最大值为-2，
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的单调性的判断，利用分段函数的单调性的性质结合函数的导数和单调性的关系是解决本题的关键，考查了学生的计算能力，综合性较强，难度较大．