Question

如图，矩形ABCD的长AB=a，宽AD=b，外接矩形EFGH的面积为S，设∠CBF=θ．
（1）用θ表示S；
（2）求S的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）设∠CBF=θ，0°＜θ＜90°，则由三角形知识可知BF=bcosθ，BE=asinθ，AH=bsinθ，AE=acosθ，利用S_矩形EFGH=EF•EH=（BE+BF）•（AE+AH），可用θ表示S；
（2）利用基本不等式求S的最大值．

解答： 解：（1）设∠CBF=θ，0°＜θ＜90°，则由三角形知识可知BF=bcosθ，BE=asinθ，AH=bsinθ，AE=acosθ．
则S_矩形EFGH=EF•EH=（BE+BF）•（AE+AH）
=（asinθ+bcosθ）（acosθ+bsinθ）=a²sinθcosθ+b²sinθcosθ+absin²θ+abcos²θ
=

1

2

（a²+b²）sin2θ+ab
（2）S═

1

2

（a²+b²）sin2θ+ab≤ab+

1

2

（a²+b²）=

1

2

（a+b）²．
当且仅当sin2θ=1，即θ=

π

4

时取得最大值．即矩形EFGH面积的最大值为

1

2

（a+b）²．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．