Question

12．在△ABC中，内角A=$\frac{π}{3}$，P为△ABC的外心，若$\overrightarrow{AP}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+2λ₂$\overrightarrow{AC}$，其中λ₁与λ₂为实数，则λ₁+λ₂的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 设|AB|=c，|AC|=b，进行数量积运算便可得到 $\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$c²，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$b²；根据条件在$\overrightarrow{AP}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+2λ₂$\overrightarrow{AC}$两边分别乘以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，进行数量积运算，并整理可得到$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{c}^{\;}={λ}_{1}{c}^{\;}+{λ}_{2}b\\ \frac{1}{2}{b}^{\;}=\frac{1}{2}{λ}_{1}{c}^{\;}+2{λ}_{2}{b}^{\;}\end{array}\right.$，
消元即可得出$\left\{\begin{array}{l}{λ}_{1}{=\frac{2}{3}}^{\;}-\frac{1}{3}•\frac{b}{c}\\{λ}_{2}{{=\frac{1}{3}}^{\;}-\frac{1}{6}•\frac{c}{b}}^{\;}\end{array}\right.$，从而表示出λ₁+λ₂，根据基本不等式即可求出λ₁+λ₂的最大值．，从而表示出x+y，根据基本不等式即可求出x+y的最大值

解答 解：设|AB|=c，|AC|=b，
则：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$c²，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$b²；
又cosA=$\frac{1}{2}$，在$\overrightarrow{AP}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+2λ₂$\overrightarrow{AC}$的两边分别乘以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{c}^{2}={λ}_{1}{c}^{2}+{λ}_{2}bc\\ \frac{1}{2}{b}^{2}=\frac{1}{2}{λ}_{1}{bc}^{\;}+2{λ}_{2}{b}^{2}\end{array}\right.$；
整理得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{c}^{\;}={λ}_{1}{c}^{\;}+{λ}_{2}b\\ \frac{1}{2}{b}^{\;}=\frac{1}{2}{λ}_{1}{c}^{\;}+2{λ}_{2}{b}^{\;}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{λ}_{1}{=\frac{2}{3}}^{\;}-\frac{1}{3}•\frac{b}{c}\\{λ}_{2}{{=\frac{1}{3}}^{\;}-\frac{1}{6}•\frac{c}{b}}^{\;}\end{array}\right.$；
∴λ₁+λ₂=1-（$\frac{b}{3c}$+$\frac{c}{6b}$）≤1-2$\sqrt{\frac{1}{18}}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴λ₁+λ₂的最大值为  1-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：B

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，三角形的外心的概念，消元法解二元一次方程组，以及基本不等式求最值，不等式的性质．