Question

已知f(x)＝ax³＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2．

(1)求f(x)的单调区间和极大值．

(2)证明对任意x₁、x₂∈(－1，1)，不等式|f(x₁)－f(x₂)|＜4恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解析：由奇函数的定义，应用f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d， 　　∴d＝0，因此，f(x)＝ax3＋cx，(x)＝3ax2＋c． 　　由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有(1)＝0，故a＋c＝－2，2a＋c＝0． 　　∴a＝1，c＝－3．因此，f(x)＝x3－3x．(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 　　(－1)＝(1)＝0．当x∈(－∞，－1)时，(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数； 　　当x∈(－1，1)时，(x)＜0，故f(x)为减函数； 　　当x∈(1，＋∞)时，(x)＞0，故f(x)为增函数． 　　∴f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2． 　　(2)证明：由(1)知f(x)＝x3－3x，x∈[－1，1]是减函数，且f(x)在[－1，1]上的最大值M＝f(－1)＝2． 　　f(x)在[－1，1]上的最小值m＝f(1)＝－2， 　　∴对任意的x1、x2∈(－1，1)，恒有|f(x1)－f(x2)|＜M－m＝2－(－2)＝4．