Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，1），$\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{v}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）当$\overrightarrow{u}$∥$\overrightarrow{v}$时，求x的值；
（Ⅱ）当$\overrightarrow{u}$⊥$\overrightarrow{v}$时且x＜0时，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行向量坐标的加法和减法运算便可求出$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}$的坐标，根据向量平行时的坐标关系即可求出x的值；
（Ⅱ）根据向量垂直时的坐标关系即可求出x的值，从而得出向量$\overrightarrow{b}$的坐标，进而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，这样便可得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：（Ⅰ）根据条件，$\overrightarrow{u}=（1+2x，4）$，$\overrightarrow{v}=（2-x，3）$；
∴$\overrightarrow{u}∥\overrightarrow{v}$时，3（1+2x）-4（2-x）=0；
∴$x=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）当$\overrightarrow{u}⊥\overrightarrow{v}$时，$\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}=（1+2x）（2-x）+12=0$；
解得x=-2，或$\frac{7}{2}$（舍去）；
∴$\overrightarrow{b}=（-2，1）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴$α=\frac{π}{2}$．

点评 考查向量加法、减法和数乘的坐标运算，以及向量平行和垂直时的坐标关系，向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件．