Question

1．已知动圆过点M（2，0），且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）问：x轴上是否存在一定点P，使得对于曲线C上的任意两点A和B，当$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R）时，恒有△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$？若存在，则求P点的坐标，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）设动圆圆心的坐标为C（x，y），由题意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化简整理即可得出．
（2）设P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三点共线，设直线AB的方程为：x=my+2，代入抛物线方程可得：y²-4my-8=0..由△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得：PM平分∠APB，因此直线PA，PB的倾斜角互补，即k_PA+k_PB=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系化简即可得出．

解答 解：（1）设动圆圆心的坐标为C（x，y），由题意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化为：y²=4x．
∴动圆圆心的轨迹方程为：y²=4x．
（2）设P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三点共线．
设直线AB的方程为：x=my+2，代入抛物线方程可得：y²-4my-8=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8．由△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{|PA|}{|PB|}$，可得：PM平分∠APB，
因此直线PA，PB的倾斜角互补，
∴k_PA+k_PB=0，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
把x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入可得：$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-a）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-a）（m{y}_{2}+2-a）}$=0，
∴-16m+（2-a）×4m=0，化为：m（a+2）=0，由于对于任意m都成立，∴a=-2．
故存在定点（-2，0），满足条件．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、角平分线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．