Question

6．已知A（-1，1，2）、B（1，0，-1），设D在直线AB上，且$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，设C（λ，$\frac{1}{3}$+λ，1+λ），若CD⊥AB，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{11}{6}$
• B． -$\frac{11}{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 设出点D（x，y，z），利用向量的坐标表示与共线定理求出点D的坐标，再利用向量垂直数量积为0，列出方程求出λ的值．

解答 解：设D（x，y，z），则
$\overrightarrow{AD}$=（x+1，y-1，z-2），
$\overrightarrow{AB}$=（2，-1，-3），
$\overrightarrow{DB}$=（1-x，-y，-1-z），
∵$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，
∴（x+1，y-1，z-2）=2（1-x，-y，-1-z）；
即$\left\{\begin{array}{l}{x+1=2（1-x）}\\{y-1=-2y}\\{z-2=-2-2z}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，z=0；
∴D（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，0），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{1}{3}$-λ，-λ，-1-λ），
∵$\overrightarrow{CD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$=2（$\frac{1}{3}$-λ）+λ-3（-1-λ）=0，
解得λ=-$\frac{11}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的共线定理与数量积的应用问题，是基础题目．