Question

用数学归纳法证明a^n＋1＋(a＋1)^2n－1(n∈N^*)能被a²＋a＋1整除．

Answer 1

证明　(1)当n＝1时，a²＋(a＋1)＝a²＋a＋1可被a²＋a＋1整除．

(2)假设n＝k(k∈N^*且k≥1)时，

a^k＋1＋(a＋1)^2k－1能被a²＋a＋1整除，

则当n＝k＋1时，

a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1＝a·a^k＋1＋(a＋1)²(a＋1)^2k－1＝a·a^k＋1＋a·(a＋1)^2k－1＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1＝a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1，由假设可知a[a^k＋1＋(a＋1)^2k－1]能被a²＋a＋1整除，(a²＋a＋1)(a＋1)^2k－1也能被a²＋a＋1整除，

∴a^k＋2＋(a＋1)^2k＋1也能被a²＋a＋1整除，

即n＝k＋1时命题也成立，

∴对任意n∈N^*原命题成立．