Question

在图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是（如图）：则第

62

行中有三个连续位置上的数之比是3：4：5．

Answer 1

分析：从三角形中的数字看出，每一行的数是一系列组合数，是二项展开式的二项式系数；假设在三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和r的方程组，能够解出对应的n和r的值，从而得出答案．

解答：解：由题意，设表中第n行中三个连续位置上的数为C

r-1 n

，C

r n

，C

r+1 n

，
它们的比C

r-1 n

：C

r n

：C

r+1 n

=3：4：5，
由

C r-1 n

C r n

=

3

4

，得

r

n-r+1

=

3

4

，即3n-7r+3=0  ①
由

C r n

C r+1 n

=

4

5

，得

r+1

n-r

=

4

5

，即4n-9r-5=0  ②
联立①②解得n=62，r=27．
则第 62行中有三个连续位置上的数之比是3：4：5．
故答案为：62．

点评：本题考查了组合及组合数公式，考查了类比推理，解答此题的关键是明确杨辉三角中的每一行的数都是在n取不同值时的二项展开式的二项式系数，是基础题．