Question

13．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：

天数x/天	1	2	3	4	5	6
繁殖个数y/个	6	12	25	49	95	190

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
（2）求y与x之间的回归方程；
（3）计算残差、相关指数R²，并描述解释变量与预报变量之间的关系．

Answer 1

分析 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出散点图即可；
（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y=ce^bx（c＞0）的周围，用lny=bx+lnc，再画出相应的散点图；计算对应的线性回归方程，从而得出细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程；
（3）计算残差，相关指数R²，说明解释变量与预报变量之间的关系．

解答 解：（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图如图1所示；

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y=ce^bx（c＞0）的周围，则lny=bx+lnc．

x	1	2	3	4	5	6
z	1.79	2.48	3.22	3.89	4.55	5.25

画出相应的散点图如图2；
从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合；
由表中数据得到线性回归方程为z=0.69x+1.115；
因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为y=e^0.69x+1.115；
（3）残差计算如下表：

天数	1	2	3	4	5	6
残差	0.080	0.122	-0.833	-5.405	1.063	1.521

相关指数R²=0.97，说明解释变量与预报变量之间的关系约97%的拟合程度．

点评 本题考查了回归方程和利用数学知识解决实际问题，以及计算能力的应用问题，是难题．