Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n•a_n+1=3×2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=2，a_n•a_n+1=3×2ⁿ，n=1时，2a₂=6，解得a₂，n≥2时，a_n-1•a_n=3×2^n-1，可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比都为2．即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n•a_n+1=3×2ⁿ，
∴n=1时，2a₂=6，解得a₂=3，
n≥2时，a_n-1•a_n=3×2^n-1，
可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比都为2．
∴a_2k=3×2^k-1，k∈N^*．
a_2k-1=2×2^k-1=2^k．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n+1}{2}}，n=2k-1}\\{3×{2}^{\frac{n-2}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．