Question

8．在锐角△ABC中，已知∠A，∠B，∠C成等差数列，设y=sinA-cos（A-C+2B），则y的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 由题意可得2∠B=∠A+∠C，再化简y=sinA-cos2A=2${（sinA+\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{8}$，根据A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），sinA∈（$\frac{1}{2}$，1），利用二次函数的性质求得y的取值范围．

解答 解：锐角△ABC中，∵∠A，∠B，∠C成等差数列，∴2∠B=∠A+∠C，∴∠B=$\frac{π}{3}$．
设y=sinA-cos（A-C+2B）=sinA-cos2A=sinA-1+2sin²A=2${（sinA+\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{8}$．
设锐角△ABC的最大角为$\frac{π}{3}$+α＜$\frac{π}{2}$，则最小角为为$\frac{π}{3}$-α＞0，∴0＜α＜$\frac{π}{6}$，
∵A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴sinA∈（$\frac{1}{2}$，1），∴y∈（0，2），
故答案为：（0，2）．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．