Question

5．给出定义：若$m-\frac{1}{2}＜x≤m+\frac{1}{2}$（m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个结论：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为$[0，\frac{1}{2}]$；
②函数y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{k}{2}（k∈Z）$对称；
③函数y=f（x）在$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$上是增函数；
④对任意实数x，都有f（-x）=f（x）
其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据题意，画出函数f（x）的图象，结合函数的图象与解析式，对以下4个命题进行判断即可．

解答 解：由题意：x-{x}=x-m，
∴令g（x）=x-{x}=x-m，
当m=0时，-$\frac{1}{2}$＜x$≤\frac{1}{2}$，∴g（x）=x，
当m=1时，1-$\frac{1}{2}$＜x≤1+$\frac{1}{2}$，g（x）=x-1；
当m=2时，2$-\frac{1}{2}$＜x≤2$+\frac{1}{2}$，g（x）=x-2；
…
…
画出函数的图象，如图所示：

f（x）=|x-{x}|就是将g（x）关于x轴翻折到上方（图右）．
由图象知
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为$[0，\frac{1}{2}]$；正确．
②函数y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{k}{2}（k∈Z）$对称；正确．
③函数y=f（x）在$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$上是增函数；不对；在$[-\frac{1}{2}，0]$是减函数，$[0，\frac{1}{2}]$是增函数．
④对任意实数x，都有f（-x）=f（x）正确．
确的命题是①②④．
故选：D．

点评 本题考查了新定义的题目，解题的关键是读懂定义的内涵，尝试探究解决，是较难的题目．