Question

若数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，且a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，则a₄=（　　）

• A、

  1

  12

• B、

  1

  20

• C、

  1

  30

• D、

  1

  16

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出

an

an-1

=

n-1

n+1

，利用累乘法求出a_n=

1

n(n+1)

，由此能求出a₄．

解答：解：∵a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，n≥2
两式相减，得：a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
∴

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴a_n=

an

an-1

×

an-1

an-2

×

an-2

an-3

×…×

a2

a1

×a1
=

n-1

n+1

×

n-2

n

×

n-3

n-1

×

n-4

n-2

×…×

3

5

×

2

4

×

1

3

×

1

2

=

1

n(n+1)

，
∴a₄=

1

4×5

=

1

20

．
故选：B．

点评：本题考查数列的第4项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．