Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记$\frac{PE}{PD}$=λ． 当λ=$\frac{1}{2}$时，二面角D-AE-C的平面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
（1）求AB的长；
（2）当$λ=\frac{2}{3}$时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出AB．
（2）分别求出$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{CE}$，利用向量法能求出异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系Axyz，
则D（0，2，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$）
设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（m，2，0）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=mx+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2}{m}$，-1，2）．   …（4分）
又$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…（4分）
∵二面角D-AE-C的平面角的余弦值为$\frac{2}{3}$，
∴由题设知|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{3}$，即$\frac{2}{\sqrt{4+5{m}^{2}}}=\frac{2}{3}$，
解得m=1，即AB=1．…（7分）
（2）$P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，
∴$\overrightarrow{BP}=（-1，0，1），\overrightarrow{CE}=（-1，-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$，
$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CE}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$|{\overrightarrow{BP}}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow{CE}}|=\frac{{\sqrt{14}}}{3}$…（10分）
$cos＜\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CE}＞=\frac{{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CE}}}{{|{\overrightarrow{BP}}|•|{\overrightarrow{CE}}|}}=\frac{{\frac{4}{3}}}{{\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{3}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线段长的求法，考查异面直线所成铁的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．