Question

对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P。例如{-1，1，2}具有性质P。
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；
（3）若X具有性质P，且x₁=1、x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式。

Answer 1

解：（1）选取=（x，2），则Y中与 垂直的元素必有形式（-1，b），
所以x=2b，
又∵x＞2，
∴只有b=2，从而x=4。
（2）取 =（x1，x1）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足 ，
可得（s+t）x₁=0，s+t=0，
所以s、t异号
因为-1是数集X中唯一的负数，
所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，
所以1∈X，假设x_k=1，其中1＜k＜n，则0＜x₁＜1＜x_n
再取 =（x₁，x_n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足 ，
可得sx₁+tx_n=0，所以s、t异号，其中一个为-1
①若s=-1，则x₁=tx_n＞1≥x₁，矛盾；
②若t=-1，则x_n=sx₁＜s≤x_n，矛盾；
说明假设不成立，由此可得当x_n＞1时，x₁=1。
（3）设=（s₁，t₁），=（s₂，t₂），
则等价于
记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
意到-1是集合X中唯一的负数，
B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n-1个数
由于＜＜＜…＜，已经有n-1个数
对以下三角形数阵：
＜＜＜…＜，
＜＜＜…＜                
…

注意到＞＞＞…＞，
所以==…=
从而数列的通项公式是x_k=x₁（）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n。