Question

4．如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．当A₁，E，F，C₁共面时，平面A₁DE与平面C₁DF所成锐二面角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA，DC，DD ₁ 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：当E（6，3，0），F（3，6，0）时，A ₁，E，F、C ₁ 共面，由此利用向量法能求出平面A₁DE与平面C₁DF所成锐二面角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA，DC，DD₁ 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由题意知：当E（6，3，0），F（3，6，0）时，A₁，E，F、C₁ 共面，
设平面A₁ DE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（6，0，6），$\overrightarrow{DE}$=（6，3，0），A₁（6，06），D（0，0，0），C₁（0，6，6），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=6a+6c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=6a+3b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），
设平面C₁ DF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，6，6），$\overrightarrow{DF}$=（3，6，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=6y+6z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=3x+6y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，1），
设平面A₁DE与平面C₁DF所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∴平面A₁DE与平面C₁DF所成锐二面角的余弦值为$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．