Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{lnx+{{（{x-b}）}^2}}}{x}$（b∈R）．若存在x∈[$\frac{1}{2}，3}$]，使得f（x）＞-x•f'（x），则实数b的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{19}{6}}）$
• B． $（{-∞，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{-∞，\frac{9}{4}}）$
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 求导函数，问题转化为b＜x+$\frac{1}{2x}$，设g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，只需b＜g（x）_max，结合函数的单调性可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{lnx+{{（{x-b}）}^2}}}{x}$（b∈R），x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1+2x（x-b）-lnx-（x-b）^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f（x）+xf′（x）=$\frac{1+2x（x-b）}{x}$，
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$，3]，得f（x）＞-x•f'（x），
∴1+2x（x-b）＞0
∴b＜x+$\frac{1}{2x}$，
设g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，
∴b＜g（x）_max，
∴g′（x）=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$
g′（x）=0时，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当g′（x）＞0时，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤3时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数单调递减，
∴当x=3时，函数g（x）取最大值，最大值为g（3）=$\frac{19}{6}$，
∴b＜$\frac{19}{6}$，
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查存在性问题，考查函数的最值，属于中档题．