Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+4，x≤7}\\{2{a}^{x-6}，x＞7}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），b_n=f（n）（n∈N^*），{b_n}是递减数列，则a的取值范围（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 根据题意，讨论n的值，利用{b_n}是单调减数列，列出关于a的不等式，求出解集即可．

解答 解：∵函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+4，x≤7}\\{2{a}^{x-6}，x＞7}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），
且b_n=f（n）（n∈N^*），{b_n}是递减数列；
∴当n≤7时，b_n=（a-1）n+4；
∴a-1＜0，
解得a＜1，
此时最小项为b₇=7（a-1）+4=7a-3；
当n＞7时，b_n=2a^n-6；
∴0＜a＜1，
此时最大项为b₈=2a²；
∴b₇＞b₈，
即7a-3＞2a²，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜3，
综上，实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了数列与分段函数的应用问题，解题时应讨论n的取值，是综合性题目．