Question

10．定义$（{\begin{array}{l}{{x_{n+1}}}\\{{y_{n+1}}}\end{array}}）$=$（{\begin{array}{l}1&0\\ 1&1\end{array}}）（{\begin{array}{l}{x_n}\\{{y_n}}\end{array}}）$为向量$\overrightarrow{O{P_n}}$=（x_n，y_n）到向量$\overrightarrow{O{P_{n+1}}}$=（x_n+1，y_n+1）的一个矩阵变换，其中O是坐标原点，n∈N^*，已知$\overrightarrow{O{P_1}}$=（2，0），则$\overrightarrow{O{P_{2016}}}$的坐标为（2，4030）．

Answer 1

分析 先利用矩阵与向量乘法运算，得出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，由$\overrightarrow{O{P_1}}$=（2，0），可得y_n+1-y_n=2，向量的横坐标不变，纵坐标构成以0为首项，2为公差的等差数列，进而可求向量的坐标．

解答 解：由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，
∴y_n+1-y_n=x_n，x_n=x₁，
由$\overrightarrow{O{P_1}}$=（2，0），
y_n+1-y_n=2，
向量的横坐标不变，纵坐标构成以0为首项，2为公差的等差数列，
y_n=2（n-1），
∴y₂₀₁₆=2×2015=4030，
$\overrightarrow{O{P_{2016}}}$的坐标（2，4030），
故答案为：（2，4030）．

点评 本题的考点是矩阵与向量乘法的意义，考查等差数列通项公式，属于中档题．