Question

在趣味投篮比赛中，每名选手在两种比赛规则中选择一种：（1）每场6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖金30元，否则不获奖；（2）每场最多投6个球，若4个球为连续投进（进四球则比赛结束），则获奖金50元，否则不获奖．已知甲投投进每个球的概率都是

2

3

．
（1）若甲获奖即可，请帮助甲选择比赛规则，说明理由；
（2）若甲所在小组共有5人，均按照甲所选择的规则投篮，且5人投篮水平相当，则甲应该选择哪种规则，该小组所获奖期望较多？说明理由．

Answer 1

分析：（1）设甲选择法则一，则他在一场比赛中获奖记为事件A，求出P（A），若甲选择法则二，则他在一场比赛中获奖记为事件B，求出P（B），根据P（A）＞P（B），得出结论．
（2）若甲小组选择法则一，求出获奖金的期望，若甲小组选择法则二，再求出所获奖金的期望，比较这两个奖金期望的值的大小，确定哪种规则．

解答：解：（1）设甲选择法则一，则他在一场比赛中获奖记为事件A，则P（A）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)4+

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)5+(

2

3

)6=

32

81

．
若甲选择法则二，则他在一场比赛中获奖记为事件B，则P（B）=(

2

3

)4+

1

3

• (

2

3

)4+(

1

3

)2•(

2

3

)4=

208

729

．
∵

32

81

＞

208

729

，故甲应选择法则一．
（2）若甲小组选择法则一，设获奖人数为ξ，则ξ～B（5，

32

81

），该小组所获奖期望为 Eξ=5×

32

81

=

160

81

，所获奖金的期望为30×

160

81

=

4800

81

．
若甲小组选择法则二，η，则η～B（5，

208

729

），Eη=5×

208

729

=

1040

729

，所获奖金的期望为50×

1040

729

=

52000

729

．
由于

4800

81

＜

52000

729

，故甲小组应选择法则二．

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，，服从二项分布的随机变量的期望的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．