Question

20．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，在（1，2）内任取两个实数x₁，x₂（x₁≠x₂），若不等式$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （28，+∞）
• B． [15，+∞）
• C． [28，+∞）
• D． （15，+∞）

Answer 1

分析 求得x₁+1 和x₂+1在区间（2，3）内，将原不等式移项，可得$\frac{f（{x}_{1}+1）-（{x}_{1}+1）-[f（{x}_{2}+1）-（{x}_{2}+1）]}{（{x}_{1}+1）-（{x}_{2}+1）}$＞0，即有函数y=f（x）-x在（2，3）内递增．求得函数y的导数，可得y′≥0在（2，3）恒成立，即a≥2x²+3x+1在（2，3）内恒成立，求出函数y=2x²+3x+1在[2，3]上的最大值即可．

解答 解：因实数x₁，x₂在区间（1，2）内，
故x₁+1 和x₂+1在区间（2，3）内．
不等式$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，
即为$\frac{f（{x}_{1}+1）-（{x}_{1}+1）-[f（{x}_{2}+1）-（{x}_{2}+1）]}{（{x}_{1}+1）-（{x}_{2}+1）}$＞0，
即有函数y=f（x）-x在（2，3）内递增．
函数y=f（x）-x=aln（x+1）-x²-x的导数为y′=$\frac{a}{x+1}$-2x-1，
即有y′≥0在（2，3）恒成立．
即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[2，3]上是单调增函数，
故x=3时，y=2x²+3x+1 在[2，3]上取最大值为28，即有a≥28，
故答案为[28，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了导数的应用：判断单调性，考查函数的单调性的运用，考查转化思想，将不等式转化为函数的单调性是解题的关键．