Question

9．已知函数f（x）=lnx+a（1-x）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（2，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）结合（1）a≤0，符合题意，a＞0时，解不等式$\frac{1}{a}$≤2即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减；
（2）若f（x）在（2，+∞）上为单调函数，
由（1）得：a≤0符合题意，
a＞0时，只需$\frac{1}{a}$≤2，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
综上a∈（-∞，0]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．