Question

6．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中 $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，下列判断正确的是（　　）

• A． 满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
• B． 满足λ+μ=1的点P有且只有一个
• C． 满足λ+μ=a（a＞0）的点P最多有3个
• D． λ+μ的最大值为3

Answer 1

分析 可分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设正方形边长为1，P（x，y），x，y∈[0，1]，可求A，B，E三点坐标，从而可写出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}$的坐标，带入$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$便可得到（x，y）=（λ-μ，μ），从而得到$λ+μ=\left\{\begin{array}{l}{x}&{y=0}\\{1+2y}&{x=1}\\{x+2}&{y=1}\\{2y}&{x=0}\end{array}\right.$，这样便可判断每个选项的正误，从而得出正确选项．

解答 解：以AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设正方形边长为1，P（x，y），则：
A（0，0），B（1，0），E（-1，1）；
∴$\overrightarrow{AP}=（x，y），\overrightarrow{AB}=（1，0），\overrightarrow{AE}（-1，1）$；
∴由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$得，（x，y）=（λ-μ，μ）；
∴$λ+μ=x+2y=\left\{\begin{array}{l}{x}&{y=0}\\{1+2y}&{x=1}\\{x+2}&{y=1}\\{2y}&{x=0}\end{array}\right.$；
∴满足λ+μ=2的点P有线段BC的中点和D点；
满足λ+μ=1的点P有B点和线段AD的中点；
满足λ+μ=a（a＞0）的点最多有2个；
x=1，y=1时，λ+μ取最大值3．
故选D．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数乘的坐标运算．