Question

12．某小组为了研究中学生的视觉和空间能力是否与性别有关，从学校各年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人，女生20人）．给每位同学难度一致的几何题和代数题各一道，让他们自由选择一道题进行解答．50名同学选题情况如下表：

	几何体	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
参考公式和数据：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（k2≥k）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²=$\frac{50}{9}$＞5.024，从而得到有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
（Ⅱ）由题意得X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）∵K²=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$=$\frac{50}{9}$＞5.024，
∴有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
（Ⅱ）由题意得X的所有可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{26}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{12}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=$0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．