Question

1．如图，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求面SCD与面SBA所成二面角的大小．

Answer 1

分析 以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面SCD与面SBA所成二面角的大小．

解答 解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），
$\overrightarrow{SD}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），
设平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=x-2z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
平面SBA的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设面SCD与面SBA所成二面角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴面SCD与面SBA所成二面角的大小为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．