Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）中的前8项是一个以2为公比，以

1

4

为首项的等比数列，从第8项起是一个等差数列，公差为-3，求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和S_n的公式；
（3）当n为何值时，S_n＜0．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列{a_n}（n∈N^*）中的前8项是一个以2为公比，以

1

4

为首项的等比数列，从第8项起是一个等差数列，公差为-3，可得1≤n≤8时，a_n=2^n-3；n≥9时，a_n=32+（n-8）×（-3）=-3n+56；
（2）分段求和，即可求出数列{a_n}的前n项和S_n的公式；
（3）当n为何值时，S_n＜0；
（3）由S_n＜0，可得

27-1

4

+（n-7）×32+

(n-7)(n-8)

2

×(-3)＜0，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}（n∈N^*）中的前8项是一个以2为公比，以

1

4

为首项的等比数列，从第8项起是一个等差数列，公差为-3，
∴1≤n≤8时，a_n=2^n-3；n≥9时，a_n=32+（n-8）×（-3）=-3n+56，
∴a_n=

2n-3，1≤n≤8 -3n+56，n≥9

（n∈N^*）；
（2）1≤n≤8时，S_n=

2n-1

4

；n≥9时，S_n=

27-1

4

+（n-7）×32+

(n-7)(n-8)

2

×(-3)；
（3）由S_n＜0，可得

27-1

4

+（n-7）×32+

(n-7)(n-8)

2

×(-3)＜0，解得n≥27．

点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，考查数列的求和，属于中档题．