Question

9．在正三棱锥P-ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求此三棱锥的全面积和体积．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；
（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．

解答 （1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．
∵△ABC是等边三角形，
∴AM⊥BC．
又∵PB=PC，
∴PM⊥BC．
∵AM∩PM=M，
∴BC⊥平面PAM，
则PA⊥BC；
（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴$AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$．
∴$PO=\sqrt{P{A^2}-A{O^2}}=2$，$PM=\sqrt{P{B^2}-B{M^2}}=\sqrt{7}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{6^2}=9\sqrt{3}$，
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PO=6\sqrt{3}$；
${S_全}={S_底}+{S_侧}=9\sqrt{3}+3×\frac{1}{2}×6×\sqrt{7}=9\sqrt{3}+9\sqrt{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查了柱、锥、台体体积的求法，是中档题．