Question

17．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为单位向量，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 对式子|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|两边平方求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，从而可得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|和$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，代入投影公式计算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=2（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²，
即2+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}$．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的投影为$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算，属于中档题．