Question

在四棱锥中，，，面，为的中点，．

（1）求证：；

（2）求证：面；

（3）求三棱锥的体积．

 

Answer 1

【答案】

（（1）因为等腰三角形中 ，同时面，可知结论，

（2）利用中位线性质在中, ∥.得到结论。

（3）

【解析】

试题分析：解：（1）证明 取中点，连接.   1分

在中，，，

则 ,．

而 

则 在等腰三角形中 . ①       2分

又 在中，,

则 ∥                           3分

因 面，面，

则 ，

又 ，即，

则  面，        4分

，

所以 ．   ②       5分

由①②知 面．

故  ．          6分 　　　　

　　

（2）（法一）取中点，连接．

则 在中, ∥.

又 面, 面

则 ∥面,                         7分

在中，

所以为正三角形，

则                            8分

又

则 ∥.

又 面, 面

则 ∥面,                          9分

而 ，

所以 面∥面.                       10分

又 面

则 ∥面．                         11分

(法二)延长交于，连接．                 7分

在中，，，

则 为的中点                         9分

又 

所以 ∥                          10分

又 面, 面

则 ∥面.                         11分

（3）由（1）（2）知 ,    

因 面， ∥

则 面，                       12分

故       14分

考点：线面平行以及体积的运算

点评：主要是考查了空间中线面的位置关系的判定以及体积的求解，属于中档题。