Question

10．已知点A（0，-2），椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的动直线与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出F，由直线AF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx-2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，再由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求．

解答 解：（1）设F（c，0），$\frac{2}{c}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，解得$c=\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴a=2，b=1，
∴椭圆E：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
由△=16（4k²-3）＞0，得${k^2}＞\frac{3}{4}$，即$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
从而$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{16k}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4•\frac{12}{{1+4{k^2}}}}$
=$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$，
又点O到直线PQ的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴△OPQ的面积$S=\frac{1}{2}d•|PQ|=\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$，
设$\sqrt{4{k^2}-3}=t$，则t＞0，
∴$S=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}≤\frac{4}{4}=1$，当且仅当t=2，
即$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$时，等号成立，且△＞0．
此时$l：y=\frac{{\sqrt{7}}}{2}x-2，y=-\frac{{\sqrt{7}}}{2}x-2$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法和基本不等式求最值，是中档题．