Question

如果函数f（x）=a^x（a^x-4a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  2

  ，1）
• B．（0，

  1

  2

  ]
• C．（1，2]
• D．?

Answer 1

分析：先化简f（x）的表达式，令t=a^x．则f（t）=t²-（4a²+1）t（t＞0）．下面对参数a分类讨论，利用复合函数的单调性的方法求解即可．

解答：解：由题意得f（x）=（a^x）²-（4a²+1）a^x，
令t=a^x，≥1，f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1）
当a＞1时，t=a^x在[0，+∞）上为增函数，
而对于f（t）=t²-（4a²+1）t，（t≥1），对称轴t=

4a2+1

2

，
根据复合函数的增减性，
要使f（t）在区间t∈[1，+∞）上也是增函数，
就必须有：对称轴t=

4a2+1

2

＞

5

2

，（a＞1）
∴f（t）在区间t∈[1，+∞）上先减后增，
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上不是增函数，
∴0＜a＜1，此时t=a^x在[0，+∞）上为减函数，
此时0＜t＜1，要使f（x）在[0，+∞）上为增函数，
则f（t）在（0，1]上必为减函数，
故

4a2+1

2

≥1，
∴a≥

1

2

，综上

1

2

≤a＜1；
故选A；

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．