Question

4．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}π}{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$π
• C． $\frac{8\sqrt{2}π}{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 由题意，点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧，求出，∠AOB=$\frac{π}{3}$，利用弧长公式，即可得出结论．

解答 解：由题意，点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧．
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2，
∴四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴四棱柱的外接球的半径为$\sqrt{2}$，∴∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴AB所在大圆，所对的弧长为$\frac{π}{3}•\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}π$，
∴点M经过的路径长为$\frac{4}{3}\sqrt{2}π$．
故选：A．

点评 本题考查弧长公式，考查学生的计算能力，确定点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧是关键．