Question

8．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面DCC₁D₁是菱形，且平面DCC₁D₁⊥平面ABCD，∠D₁DC=$\frac{π}{3}$，E是A₁D的中点，F是BD₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若M是CD的中点，求证：平面D₁AM⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）连结AD₁，利用中位线定理得出EF∥AB，故而EF∥平面ABCD；
（2）连结CD₁，则△D₁DC为等边三角形，于是D₁M⊥CD，利用面面垂直的性质得出D₁M⊥平面ABCD，故而平面D₁AM⊥平面ABCD．

解答 证明：（1）连结AD₁，
∵四边形AA₁D₁D是平行四边形，E是A₁D的中点，
∴E是AD₁的中点，又F是BD₁的中点，
∴EF∥AB，
又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）连结CD₁．
∵四边形CDD₁C₁是菱形，∠D₁DC=$\frac{π}{3}$，
∴△D₁DC是等边三角形，
∵M是CD的中点，
∴D₁M⊥CD，又平面DCC₁D₁⊥平面ABCD，平面DCC₁D₁∩平面ABCD=CD，
∴D₁M⊥平面ABCD，又D₁M?平面D₁AM，
∴平面D₁AM⊥平面ABCD．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，熟练掌握判定定理，构造平行线或垂线是证明的一般思路，属于中档题．