Question

4．直线y=kx+1与双曲线x²-$\frac{y^2}{4}$=1交于A，B两点，且|AB|=8$\sqrt{2}$，则实数k的值为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 直线y=kx+1与双曲线x²-$\frac{y^2}{4}$=1联立可得（4-k²）x²-2kx-5=0，利用韦达定理结合弦长公式建立方程，即可求出k的值．

解答 解：直线y=kx+1与双曲线x²-$\frac{y^2}{4}$=1联立可得（4-k²）x²-2kx-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2k}{4-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{5}{4-{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{2k}{4-{k}^{2}}）^{2}+\frac{20}{4-{k}^{2}}}$=8$\sqrt{2}$，
解得k=$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．