题目内容
已知函数f（x）=8ln（1+ex）-9x．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(
)＜
成立．
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．
（1）∵f（x）=81n（1+ex）-9x，
∴f(x1)+f(x2)-2f(
)=8[1n(1+ex1)-9x1+1n(1+ex2)-9x2-21n(1+e
)+9(x1+x2)]
=8[1n(1+ex1)(1+ex2)-1n(1+e
)2]
=8[1n(1+ex1+ex2+ex1+x2)-1n(1+2•e
+ex1+x2)]．
∵x1≠x2，∴ex1+ex2＞2
=2•e
，∴f(x1)+f(x2)-2f(
)＞0，
∴f(
)＜
．
（2）∵f′（x）=
-9=
＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3．
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
，
∴
•
=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)]•[f(x3)-f(x2)]
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
•
＜0，
故B为钝，△ABC为钝角三角形． 若△ABC是等腰三角形，则只可能是
=|
，
即（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2=
，∴有[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2，∴f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x3），
即：f（x2）=
即：f(
)=
，这与（1）结论矛盾，∴△ABC不能为等腰三角形．
∴f(x1)+f(x2)-2f(
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
=8[1n(1+ex1)(1+ex2)-1n(1+e
| x1+x2 |
| 2 |
=8[1n(1+ex1+ex2+ex1+x2)-1n(1+2•e
| x1+x2 |
| 2 |
∵x1≠x2，∴ex1+ex2＞2
| ex1+x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
∴f(
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
（2）∵f′（x）=
| 8ex |
| 1+ex |
| -9-ex |
| 1+ex |
设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3．
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
| x1+x2 |
| 2 |
∴
| BA |
| BC |
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
| BA |
| BC |
故B为钝，△ABC为钝角三角形． 若△ABC是等腰三角形，则只可能是
| |BA| |
| BC| |
即（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2=
| x1+x3 |
| 2 |
即：f（x2）=
| f(x1)+f(x3) |
| 2 |
即：f(
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
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| A、（0，2） | B、（0，8） | C、（2，8） | D、（-∞，0） |