题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，右焦点到直线l₁：3x+4y=0的距离为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l₂：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l₁上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．

解：（Ⅰ）由右焦点到直线l₁：3x+4y=0的距离为 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，解得c=1，
又e= $\text{[math]}$ ，所以a=2，b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线l₂：y=kx+m代入椭圆方程 $\text{[math]}$ 得到：
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
因此 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以AB中点M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
又M在直线l₁上，得3× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0，
因为m≠0，所以k=1，故 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
原点O到AB的距离为d= $\text{[math]}$ ，
得到S= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，当且仅当m²= $\text{[math]}$ 取到等号，检验△＞0成立．
所以△OAB的面积S的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得 $\text{[math]}$ ，得c值，由离心率可得a值，再由b²=a²-c²可得b值；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线l₂：y=kx+m代入椭圆方程 $\text{[math]}$ 得到：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB中点横坐标，代入l₂得纵坐标，由中点在直线l₁上可求得k值，用点到直线的距离公式求得原点O到AB的距离为d，弦长公式求得|AB|，由三角形面积公式可表示出S_△OAB，变形后用不等式即可求得其最大值；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查弦长公式、点到直线的距离公式及用不等式求函数最值，考查函数思想．