Question

17．已知：正数x，y．
（1）求证：x³+y³≥x²y+y²x；
（2）若$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}≥\frac{m}{2}（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用比较法证明不等式，（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²，分析符号可得结论．
（2）$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}≥\frac{m}{2}（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）?\frac{m}{2}≤\frac{{{x^3}+{y^3}}}{xy（x+y）}=\frac{{{x^2}-xy+{y^2}}}{xy}$，由此求出实数m的取值范围．

解答 （1）证明：x³+y³-x²y-y²x=x²（x-y）-y²（x-y）=（x+y）（x-y）²．
∵x+y＞0，（x-y）²≥0，∴x³+y³-（x²y+xy²）≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²…（5分）
（2）解：$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}≥\frac{m}{2}（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）?\frac{m}{2}≤\frac{{{x^3}+{y^3}}}{xy（x+y）}=\frac{{{x^2}-xy+{y^2}}}{xy}$，
∵$\frac{{{x^2}-xy+{y^2}}}{xy}≥\frac{2xy-xy}{xy}=1（x=y$时取等号）
∴$\frac{m}{2}$≤1，∴m≤2，∴m∈（-∞，2]…（10分）

点评 本题考查用比较法证明不等式，基本不等式的应用，将式子变形是证明的关键．函数恒成立问题的应用，考查计算能力以及转化思想．